Fundamentele formale (ZFC) și dezideratele epistemice

Sistemul ZFC (Zermelo–Fraenkel + Axioma Alegerii) este fundamentul standard al matematicii moderne. Articolul de față prezintă concis axiomele pentru a putea fi citate ulterior, inclusiv în contexte actuariale în care spațiile de evenimente, funcțiile măsurabile, agregările de portofolii și transformările recursive se bazează direct pe aceste fundamente.

În literatura de specialitate există două convenții de numerotare:

• forma compactă (ZF cu 8 axiome, Axioma alegerii fiind a 9-a), folosită și pe Wikipedia;
• forma extinsă utilizată în tratatele moderne (Kunen, Jech), unde regularitatea apare explicit, iar schemele de separație și înlocuire sunt enumerate separat.

Aici folosim această a doua convenție, rezultând cele zece etichete ZFC1 – ZFC10.

1. Extensionalitate Link spre

În logică, extensionalitatea sau egalitatea extensională se referă la principiile care judecă obiectele după egalitate dacă au aceleași proprietăți externe. Aceasta contrastează cu conceptul de intensionalitate, care observă dacă definițiile interne ale obiectelor sunt aceleași.

Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă au aceleași elemente. Orice portofoliu este determinat de elementele sale: dacă două portofolii conțin exact aceleași polițe, sunt identice din punct de vedere actuarial, indiferent de modul de prezentare.

Paradox rezolvat: evită ambiguitățile de identitate între mulțimi și împiedică confuziile între definiții diferite care ar revendica aceeași colecție.

\forall A \, \forall B \, [\forall x (x \in A \leftrightarrow x \in B) \rightarrow A = B]\tag{ZFC1}

2. Mulțimea vidă Link spre

Există o mulțime fără elemente. Modelarea riscului pleacă adesea de la starea fără evenimente și fără expunere — punctul zero al oricărei construcții matematice. La nivel actuarial, aceasta corespunde tratării coerente a situațiilor cu zero, una sau multiple daune, toate integrate într-un unic model analitic.

Paradox rezolvat: fixează un punct de plecare bine definit și previne ambiguitățile legate de mulțimea tuturor lucrurilor inexistente care altfel ar putea conduce la interpretări inconsistente ale existenței.

\exists A \, \forall x \, (x \notin A)\tag{ZFC2}

3. Perechea Link spre

Pentru orice două mulțimi $ A$ și $ B$ există o mulțime care le conține exact pe ele două. Este baza agregărilor elementare: două riscuri pot fi studiate împreună ca o entitate compusă.

Paradox rezolvat: elimină problemele de construcție primitivă a perechilor și evită ambiguitățile atunci când se încearcă definirea relațiilor binare ca „obiecte” ne-formalizate.

\forall A \, \forall B \, \exists C \, (A \in C \land B \in C)\tag{ZFC3}

4. Reuniunea Link spre

Pentru orice mulțime $ A$ există mulțimea $ ⋃A$, care conține toate elementele membrilor lui $ A$. Este operația structurală a agregării portofoliilor și scenariilor.

Paradox rezolvat: oferă o regulă clară de aplatizare a colecțiilor, prevenind construcțiile ambigue de tip mulțimea tuturor elementelor din elemente care, neformalizate, pot degenera în contradicții.

\forall A \, \exists B \, \forall x \, [x \in B \leftrightarrow \exists C (C \in A \land x \in C)]\tag{ZFC4}

5. Puterea mulțimii Link spre

Pentru orice mulțime $ A$ există mulțimea tuturor submulțimilor sale. În mod actuarial, aceasta echivalează cu posibilitatea enumerării tuturor subseturilor unui portofoliu, cu existența unei $ \sigma$-algebre coerente și cu descrierea completă a tuturor scenariilor sau strategiilor posibile.

Paradox rezolvat: (ZFC1¹ + ZFC5 + ZFC7 + ZFC3 + ZFC4) stabilește clar ierarhia cardinalităților (prin teorema lui Cantor²) și împiedică noțiunea problematică de mulțime a tuturor mulțimilor care conduce la paradoxul lui Cantor și la contradicții legate de universal set.

\forall A \, \exists P \, \forall B \, (B \in P \leftrightarrow B \subseteq A)\tag{ZFC5}

6. Infinitul Link spre

Există o mulțime infinită, conținând ∅ și închisă la operația $ x \mapsto x \cup \{x\} $. Fundamental pentru procese stocastice, serii infinite, modele de fluxuri pe orizont deschis și recurențe. Legitimează hotelul infinit al lui Hilbert; altfel, ar rămâne doar o poveste amuzantă, fără bază științifică solidă. Așa cum argumentează Deutsch (2011), respingerea infinitului ne lasă captivi finitudinii, iar finitul este inevitabil parohial.

Paradox rezolvat: introduce în mod controlat infinitul, evitând încercările de a deduce inconsistențe din lipsa unei structuri infinite; asigură existența $ \mathbb{N} $ fără a conduce la contradicții legate de „toate mulțimile finite”.

\exists A \, [\emptyset \in A \land \forall x (x \in A \rightarrow x \cup \\{x\\} \in A)]\tag{ZFC6}

7. Separarea (Schema de separație) Link spre

Din orice mulțime A putem extrage submulțimea elementelor care satisfac o proprietate $ \varphi(x) $. Filtrarea portofoliilor, selecția daunelor cu un anumit profil, extragerea cazurilor eligibile — toate se bazează pe acest principiu.

Paradox rezolvat: rezolvă direct paradoxul lui Russell³ prin restricționarea comprehensiunii: nu oricare proprietate definește o mulțime globală, ci doar submulțimi ale unei mulțimi date.

\forall A \, \exists B \, \forall x \, [x \in B \leftrightarrow (x \in A \land \varphi(x))]\tag{ZFC7}

8. Înlocuirea Link spre

Imaginea unei mulțimi printr-o funcție definibilă este tot o mulțime. Formalizează aplicarea sistematică a unei funcții de tarifare, actualizare sau transformare asupra tuturor elementelor unui portofoliu.

Paradox rezolvat: controlează construcțiile de imagini și previne generarea de colecții „prea mari” (care altfel ar deveni clase proprii), reducând riscul unor paradoxuri de tip Burali-Forti legate de ordini totale ale ordinarilor.

\big[\forall x \in A \, \exists! y \, \varphi(x,y)\big] \rightarrow 
\exists B \, \forall y \, [y \in B \leftrightarrow \exists x \in A \, \varphi(x,y)]\tag{ZFC8}

9. Regularitatea Link spre

Orice mulțime nevidă conține un element disjunct de ea însăși; nu există lanțuri infinite de apartenență.

Din punct de vedere matematic, axioma regularității elimină ciclurile de apartenență și impune o structură bine-fondată a universului de mulțimi. În acest sens strict, ea evită formele de auto-dependență ontologică care apar în construcții circulare sau nefondate.

Într-o interpretare deliberat limitată, această eliminare a auto-dependenței structurale poate fi privită ca făcând mai naturală modelarea agenților ca entități bine-fondate, fără sprijin ontologic circular. Doar în acest cadru restrâns se poate vorbi, metaforic, despre un spațiu formal în care ideea de liber arbitru nu este exclusă din start, ci poate fi privită ca un posibil punct de emergență.

Regularitatea vorbește despre structură ontologică, iar teoremele lui Gödel⁴ despre limite epistemice. Între ele nu există o implicație logică directă.

Altfel spus, ZFC9 nu fundamentează liberul arbitru, dar nici nu îl obstrucționează; cel mult, face mai naturală o anumită alegere de modelare. Atât. Restul este zgomot filosofic.

Paradox rezolvat: împiedică apariția seturilor auto-referențiale și a contrucțiilor non-well-founded (ex.: cicluri de tip Quine⁵), eliminând o sursă de paradoxuri și ambiguități legate de apartenența circulară.

\forall A \, [A \neq \emptyset \rightarrow \exists x (x \in A \land x \cap A = \emptyset)]\tag{ZFC9}

10. Axioma alegerii Link spre

Pentru orice familie de mulțimi nevide există o funcție care selectează câte un element din fiecare. Se justifică astfel selecția scenariilor reprezentative, alegerea parametrilor, alegerea unei strategii optime dintre cele posibile și construcția bazelor măsurabile.

Paradox rezolvat / consecințe: nu „rezolvă” un paradox clasic — mai degrabă închide probleme de existență a selectorilor. Totuși, Axioma Alegerii implică rezultate contra-intuitive (ex.: paradoxul Banach–Tarski) și este independentă de ZF; rolul ei este de a garanta existența funcțiilor de selecție acolo unde nu există reguli constructive.

\forall A \, [\emptyset \notin A \rightarrow 
\exists f: A \rightarrow \bigcup A \, \forall B \in A \, (f(B) \in B)]\tag{ZFC10}

Desiderate de bază Link spre

Pentru a menține credibilitatea și obiectivitatea, este necesar să formulăm un set de deziderate de bază, opozabile în mod egal oricărui robot rațional (actuar). Adoptăm atât noțiunea de robot rațional, cât și aceste deziderate, în forma lor esențială, așa cum au fost identificate de Jaynes (2003), doar ușor adaptate.

Condițiile de mai jos determină în mod unic regulile după care trebuie să raționeze orice robot obiectiv; cu alte cuvinte, introducem un set de operații matematice pentru a obține o plauzibilitate căt mai credibilă.

\textit{Gradele de plauzibilitate sunt reprezentate prin numere reale.}\tag{D1}

Nu vedem posibilitatea unei teorii coerente fără o proprietate funcțional echivalentă cu (D1). Avem nevoie de aceasta pentru a reprezenta o plauzibilitate mai mare printr-un număr mai mare, astfel încât $ (A | B) > (C | B)$ să însemne că, dat fiind $ B$, $ A$ este mai plauzibil decât $ C$.

\textit{Corespondență calitativă cu bunul-simț (noima peste normă).}\tag{D2}

Această cerință calitativă oferă doar direcția în care trebuie să se desfășoare raționamentul robotului. Ea nu fixează reguli numerice explicite, ci constrânge raționamentul să fie compatibil cu intuiția rațională.

În cele din urmă, dorim să îi atribuim robotului o altă proprietate dezirabilă—una spre care oamenii onești tind, fără a o atinge întotdeauna: consistența raționării.

\begin{gathered}
\textit{Dacă o concluzie poate fi dedusă pe mai multe căi, atunci} \\
\textit{fiecare cale posibilă trebuie să conducă la același rezultat.}
\end{gathered}\tag{D3a}

În continuare, următoarele desiderate trebuie avute întotdeauna în vedere atunci când informația este împărțită pe clase. O informație este considerată relevantă dacă și numai dacă distinge între explicații candidate concurente ale aceluiași fenomen, în sensul că elimină, restrânge sau favorizează unele explicații în raport cu altele.

Orice agregare sau rafinare a claselor este admisibilă doar în măsura în care păstrează această structură explicativă⁶ și nu introduce diferențe artificiale între explicații care sunt, din punct de vedere informațional, echivalente. Astfel nu poți ascunde informație prin agregare sau inventa semnal prin rafinare.

\begin{gathered}
\textit{Robotul ia întotdeauna în considerare toate dovezile pe care le are} \\
\textit{relevante pentru o întrebare. El nu ignoră arbitrar o parte din} \\
\textit{informație, bazându-și concluziile doar pe ceea ce rămâne.} \\
\textit{Cu alte cuvinte, robotul este complet neideologic.}
\end{gathered}\tag{D3b}

(D3b) elimină selecția convenabilă a informației (cherry-picking), iar (D3c) impune o formă de invarianță epistemică. Ambele sunt condiții structurale, nu etice: fără ele, orice „model” devine dependent de retorică, nu de date.

\begin{gathered}
\textit{Robotul reprezintă întotdeauna stări echivalente de cunoaștere prin} \\
\textit{atribuiri echivalente de plauzibilitate.}
\end{gathered}\tag{D3c}

Altfel spus, pentru aceeași stare de cunoaștere—sau pentru două cazuri echivalente doi gemeni—trebuie să atribuim valori identice de plauzibilitate în ambele situații.

Observație critică: Jaynes (2003) nu introduce aceste desiderate ca axiome arbitrare, ci pentru nevoia de condiții minimale de coerență. Fără ele, nu obținem o teorie alternativă a raționamentului, ci absența credibilității.

Referințe Link spre

@online{cornaciu2025ZFC+,
  author   = {Cornaciu, Valentin},
  title    = {Fundamentele formale (ZFC) și dezideratele epistemice},
  year     = {2025},
  date     = {2025-12-25},
  url      = {https://rcor.ro/ro/posts/2025-12-09-axioms-of-set-theory/},
  abstract = {Analiză structurală a axiomei regularității în ZFC, desiderate
  epistemice și implicații de modelare în știință și actuariat}